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什么是摆线(旋轮线)

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发表时间:2019-01-10 11:07作者:英奇利起源:英奇利网址:http://tu8kite.com

在数学中,摆线(Cycloid)被定义为,一个圆沿一条直线运动时,圆边界上必定点所形成的轨迹••。它是一般旋轮线的一种••。


摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解••。


摆线.jpg


一个圆在一条定直线上滚动时,圆周上一个定点的轨迹,又称圆滚线¶••⊿旋轮线••。


圆上定点的初始地位为坐标原点,定直线为x轴••。当圆滚动j 角以后,圆上定点从 O 点地位达到P点地位••。当圆滚动一周,即 j从O变动2π时,动圆上定点描画出摆线的第一拱••。再向前滚动一周, 动圆上定点描画出第二拱,持续滚动,可得第三拱,第四拱……,所有这些拱的形状都是完整雷同的 ,每一拱的拱高为2a(即圆的直径),拱宽为2πa(即圆的周长)••。


到17 世纪,人们创造摆线具有如下性质:


1¶••⊿它的长度等于旋转圆直径的 4 倍••。尤为令人感兴趣的是,它的长度是 一个不依附于π的有理数••。


2¶••⊿在弧线下的面积,是旋转圆面积的三倍••。


3¶••⊿圆上描出摆线的那个点,具有不同的速度——事实上,在特定的处所它甚至是静止的••。


4¶••⊿当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时,它们会同时达到底部••。


摆线2.jpg


摆线方程式


x=r*(t-sint); y=r*(1-cost)r为圆的半径, t是圆的半径所经过的弧度(滚动角),当t由0变到2π时,动点就画出了摆线的一支,称为一拱••。


摆线方程式.jpg


摆线最早涌现可见于公元 1501 年出版的 C·鲍威尔的一本书中.但在 17 世 纪,大批精彩的数学家(如伽利略,帕斯卡,托里拆利,笛卡儿,费尔马, 伍任,瓦里斯,惠更斯,约翰·伯努利,莱布尼兹,牛顿等等)热情于研究这一曲线的性质.17 世纪是人们对数学力学和数学运动学爱好的年代,这能解释人们为什么对摆线怀有强烈的兴趣••。在这一时代,伴随着许多创造,也涌现了众多有关创造权的争议,抄袭的责备,以及抹煞他人工作的现象••。这样,作为一种成果,摆线被贴上了引发争议的“金苹果”和“几何的海伦” 的标签••。


摆线的研究最初开端于库萨的尼古拉,之后马兰·梅森也有针对摆线的研究••。1599年伽利略为摆线命名••。1634年吉勒斯·德·罗贝瓦勒指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍••。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍••。在这一时代,伴随着许多创造,也涌现了众多有关创造权的争议,甚至抹杀他人工作的现象,而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”(The Helen of Geometers)••。


摆线针轮行星传动中,摆线轮齿廓曲线运用内啮合产生圆产生的短幅外摆线••。


有一产生圆(滚圆)半径为rp',基圆半径为rc',基圆内切于产生圆,当产生圆绕基圆作纯滚动,其圆心Op分辨处于Op1¶••⊿Op2¶••⊿Op3¶••⊿Op4¶••⊿Op5¶••⊿Op6......各地位时,由此固结在产生圆平面上的点M分辨经过M1¶••⊿M2¶••⊿M3¶••⊿M4¶••⊿M5¶••⊿M6......各地位,由此产生圆周期滚动,产生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线••。


由以上摆线生成的几何关系 若仍保持以上的内切滚动关系,将基圆和摆线视为刚体相对于产生圆运动,则形成了摆线图形相对产生圆圆心Op作行星方式的运动,这就是行星摆线传动机构的基础原理••。


摆线利用故事


时钟


时钟已变成现代人不可或少的必备工具之一,没有时钟,人们将不知时间,许多重要的约会便会错过,当各位在看表的时候,不知可曾想过,时钟里面暗藏了些甚么道理,一砂一世界,许多我们视为理所当然的事都是先民流血流汗一点一滴累积而成的••。


在时钟里面到底暗藏了什么东西 将这些理论写出来可是厚厚的一大本呢!回想以前的中世纪航海时代,时间的控制是关乎全船人生命安危的大事,想要和大海搏斗,时间是不可或缺的因素,古时候是以沙漏水钟来计时,但这些计时工具相当不正确,为了增长船员生存的机会,创造准确的计时器变成了当时科学界的当务之急••。


那时在意大利有一位年轻的科学家伽利略,有一次在比萨斜塔处意外地创造一个有趣的现象,教堂的吊灯来回摆动时,不管摆动的幅度大还是小,每摆动一次用的时间都相等••。当时,他是以自己的心跳脉搏来盘算时间的••。从此以后,伽利略便废寝忘食的研究起物理和数学来,他曾用自行制的滴漏来重


新做单摆的实验,成果证明了单摆摆动的时间跟摆幅没有关系,只跟单摆摆线的长度有关.这个现象使伽利略想到或允许以利用单摆来制作准确的时钟,但他始终并没有将理想付之履行••。


伽利略的创造振奋了科学界,可是不久便创造单摆的摆动周期也不完整相等••。本来,伽利略的视察和实验还不够准确.实际上,摆的摆幅愈大,摆动周期就愈长,只不过这种周期的变更是很小的••。所以,如果用这种摆来制作时钟,摆的振幅会因为摩擦和空气阻力而愈来愈小,时钟也因此愈走愈快••。


过了不久,荷兰科学家惠更斯决定要做出一个准确的时钟来.伽利略的单摆是在一段圆弧上摆动的,所以我们也叫做圆周摆••。惠更斯想要找出一条曲线,使摆沿著这样的曲线摆动时,摆动周期完整与摆幅无关,这群科学家放弃了物理实验,纯粹往数学曲线上去研究,经过不少次的失败,这样的曲线终於找到了,数学上把这种曲线叫做“摆线”,“等时曲线”或“旋轮线”••。


动手验证


如果你用硬纸板剪一个圆,在圆的边沿固定一枝铅笔,当这圆沿一条直线滚动时,铅笔便会画出一条摆线来.信任这样的玩具许多人都已经看过玩过,以前的街上,常会看到街边小贩在兜售这种摆线玩具,许多人赞叹摆线的俏丽,但却不知摆线与时钟的相干性.钟表店里面那些有钟摆的时钟,都是利用摆线性质制作出来的.由于摆线的创造,使得准确时钟的制作不是理想.这也使人类科技向前迈进一大步••。


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