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什么是摆线(旋轮线)

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发表时间:2019-01-10 11:07作者:英奇利来源:英奇利网址:http://tu8kite.com

在数学中,摆线(Cycloid)被定义为,一个圆沿一条直线运动时,圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种。


摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。


摆线.jpg


一个圆在一条定直线上滚动时,圆周上一个定点的轨迹,又称圆滚线、旋轮线。


圆上定点的初始位置为坐标原点,定直线为x轴。当圆滚动j 角以后,圆上定点从 O 点位置到达P点位置。当圆滚动一周,即 j从O变动2π时,动圆上定点描画出摆线的第一拱。再向前滚动一周, 动圆上定点描画出第二拱,继续滚动,可得第三拱,第四拱……,所有这些拱的形状都是完全相同的 ,每一拱的拱高为2a(即圆的直径),拱宽为2πa(即圆的周长)。


到17 世纪,人们发现摆线具有如下性质:


1、它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。尤为令人感兴趣的是,它的长度是 一个不依赖于π的有理数。


2、在弧线下的面积,是旋转圆面积的三倍。


3、圆上描出摆线的那个点,具有不同的速度——事实上,在特定的地方它甚至是静止的。


4、当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时,它们会同时到达底部。


摆线2.jpg


摆线方程式


x=r*(t-sint); y=r*(1-cost)r为圆的半径, t是圆的半径所经过的弧度(滚动角),当t由0变到2π时,动点就画出了摆线的一支,称为一拱。


摆线方程式.jpg


摆线最早出现可见于公元 1501 年出版的 C·鲍威尔的一本书中.但在 17 世 纪,大批卓越的数学家(如伽利略,帕斯卡,托里拆利,笛卡儿,费尔马, 伍任,瓦里斯,惠更斯,约翰·伯努利,莱布尼兹,牛顿等等)热心于研究这一曲线的性质.17 世纪是人们对数学力学和数学运动学爱好的年代,这能解释人们为什么对摆线怀有强烈的兴趣。在这一时期,伴随着许多发现,也出现了众多有关发现权的争议,剽窃的指责,以及抹煞他人工作的现象。这样,作为一种结果,摆线被贴上了引发争议的“金苹果”和“几何的海伦” 的标签。


摆线的研究最初开始于库萨的尼古拉,之后马兰·梅森也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年吉勒斯·德·罗贝瓦勒指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。在这一时期,伴随着许多发现,也出现了众多有关发现权的争议,甚至抹杀他人工作的现象,而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”(The Helen of Geometers)。


摆线针轮行星传动中,摆线轮齿廓曲线运用内啮合发生圆产生的短幅外摆线。


有一发生圆(滚圆)半径为rp',基圆半径为rc',基圆内切于发生圆,当发生圆绕基圆作纯滚动,其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6......各位置时,由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6......各位置,由此发生圆周期滚动,发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线。


由以上摆线生成的几何关系 若仍保持以上的内切滚动关系,将基圆和摆线视为刚体相对于发生圆运动,则形成了摆线图形相对发生圆圆心Op作行星方式的运动,这就是行星摆线传动机构的基本原理。


摆线应用故事


时钟


时钟已变成现代人不可或少的必备工具之一,没有时钟,人们将不知时间,许多重要的约会便会错过,当各位在看表的时候,不知可曾想过,时钟里面隐藏了些甚么道理,一砂一世界,许多我们视为理所当然的事都是先民流血流汗一点一滴累积而成的。


在时钟里面到底隐藏了什么东西 将这些理论写出来可是厚厚的一大本呢!回想以前的中世纪航海时代,时间的掌握是关乎全船人生命安危的大事,想要和大海搏斗,时间是不可或缺的因素,古时候是以沙漏水钟来计时,但这些计时工具相当不准确,为了增加船员生存的机会,发明精确的计时器变成了当时科学界的当务之急。


那时在意大利有一位年轻的科学家伽利略,有一次在比萨斜塔处意外地发现一个有趣的现象,教堂的吊灯来回摆动时,不管摆动的幅度大还是小,每摆动一次用的时间都相等。当时,他是以自己的心跳脉搏来计算时间的.从此以后,伽利略便废寝忘食的研究起物理和数学来,他曾用自行制的滴漏来重


新做单摆的试验,结果证明了单摆摆动的时间跟摆幅没有关系,只跟单摆摆线的长度有关。这个现象使伽利略想到或许可以利用单摆来制作精确的时钟,但他始终并没有将理想付之实行。


伽利略的发现振奋了科学界,可是不久便发现单摆的摆动周期也不完全相等。原来,伽利略的观察和实验还不够精确.实际上,摆的摆幅愈大,摆动周期就愈长,只不过这种周期的变化是很小的。所以,如果用这种摆来制作时钟,摆的振幅会因为摩擦和空气阻力而愈来愈小,时钟也因此愈走愈快。


过了不久,荷兰科学家惠更斯决定要做出一个精确的时钟来.伽利略的单摆是在一段圆弧上摆动的,所以我们也叫做圆周摆。惠更斯想要找出一条曲线,使摆沿著这样的曲线摆动时,摆动周期完全与摆幅无关,这群科学家放弃了物理实验,纯粹往数学曲线上去研究,经过不少次的失败,这样的曲线终於找到了,数学上把这种曲线叫做“摆线”,“等时曲线”或“旋轮线”。


动手验证


如果你用硬纸板剪一个圆,在圆的边缘固定一枝铅笔,当这圆沿一条直线滚动时,铅笔便会画出一条摆线来.相信这样的玩具许多人都已经看过玩过,以前的街上,常会看到街边小贩在兜售这种摆线玩具,许多人赞叹摆线的美丽,但却不知摆线与时钟的相关性.钟表店里面那些有钟摆的时钟,都是利用摆线性质制作出来的。由于摆线的发现,使得精确时钟的制作不是梦想。这也使人类科技向前迈进一大步。


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